介護給付費等の支給申請の代行は、障害者本人から申請の代行依頼を受けたものであれば誰でも可能とされています。(あくまで申請者は障害者本人または障害児の保護者であり、代行は障害者本人の支給申請の意思表示の内容を本人に代わり伝える行為であることに留意ください)
このためサービス事業所が行っても良いですし、相談支援専門員が行っても良いです。ただ計画相談を利用されるなら相談支援専門員に行ってもらうのがよろしいかと思います。セルフプランならサービス事業所が行えば良いでしょう。
なお支給申請を代行する場合は、たいてい委任状の提出や身分証の提示を求められます。(一律的に委任状の提出を求める必要はないとされていますが)
また「支給申請書兼利用者負担額減額・免除等申請書」なる書類を提出するのですが、この書面にある個人番号を他人が記入することはできませんので、対応方法を委任状が必要な否かと併せて市町村に確認されてください!