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そうですね、基本的に緊急連絡先を記載した何かしら書面がない場合、実地指導時に指摘を受ける可能性があるかと思います。
介護保険の訪問介護であれば省令第27条、障害福祉サービスであれば省令第28条の「緊急時等の対応」に、サービス提供中の急変対応について主治医等に連絡するなど必要な措置を行わなければならないと明記されており、これを証明する書類の一つとして緊急連絡先を記した書面が必要であると考えます。
また省令第27条および第28条は、各事業所が運営規定に定めた緊急時対応の方法に則り必要な措置を講じるものです。運営規定により詳しい緊急時対応の方法を定めているはずですので一度確認してみてください。なお、利用者ごとに主治医や医療機関の名称・連絡先、緊急時の優先順序などを記載した緊急連絡票を作成し、各利用者ファイルに綴じ込む&利用者宅に置いておくのが一般的な運用方法となります。
ご参考まで!